La música de las fracciones

Por | 28 Marzo, 2021

Fueron los filósofos de la Escuela pitagórica (siglos VI-V a.C.) los que pusieron las bases de nuestra música actual. Los  fundamentos  matemáticos  de  la  música,  estudiados  y  enunciados  por  los pitagóricos, constituyeron la base de todos los manuales de música que se elaboraron posteriormente.

Entre estos manuales, uno de los más importantes es De  institutione  música escrito por Boecio en el siglo VI d.C.
Boecio desarrolló y extendió los  principios enunciados  por  los pensadores pitagóricos. Este texto fue la base de toda la teoría musical elaborada durante el Medioevo en el Occidente cristiano. Boecio consideraba que la música era una de las ciencias que permitía al hombre alcanzar la sabiduría. Por ese motivo denominó quadrivium o cuádruple  vía  hacia  la  sabiduría, al  conjunto  de  las  cuatro  ciencias matemáticas: música, aritmética, geometría y astronomía.

Coro de reyes. Pórtico de la Gloria (Catedral de Santiago de Compostela)

El principio que relaciona la longitud de una cuerda vibrante con las notas de la escala musical era bien conocido en Mesopotamia y Grecia. Los pensadores de la Escuela Pitagórica habrían empleado un monocordio, una cuerda tensada sobre la cual se desliza un puente móvil,  para realizar sus experiencias. Al pulsar una cuerda tensada se obtiene un sonido, el sonido obtenido dependerá de la longitud de la cuerda. 

Imaginemos una cuerda de 2 unidades de longitud, tensada por sus extremos. Al vibrar libremente se obtenía un sonido que, por comodidad, nombraremos: Do, como lo hacemos en la actualidad.

Si realizaban el experimento con una cuerda de 1 unidad de longitud, los pitagóricos observaron que era, DO, la misma nota musical, pero más alta.

Tras realizar múltiples experimentos, y obtener lo que entendieron como las 7+1 notas musicales que representaban sonidos que resultaban más “agradables” al oído humano, disponían de la escala musical (usaremos por comodidad los nombres actuales): Do Re Mi Fa Sol La Si DO. 


Las ocho notas musicales de la escala conforman la “octava”, y por tanto DO sería “una octava más alta que Do”.
Los pitagóricos comenzaron definiendo una escala de cuatro notas, intercalando dos notas entre Do-DO, cuyas frecuencias se corresponden con la proporción matemática 1/2= Do/DO. Utilizando la frecuencia, inversa de la longitud de la cuerda:

Fuente grafismos: Pitágoras, las matemáticas y la música (Enrique Alexandre)

– La frecuencia de Sol sería 3/2 de Do (quinta).
– La frecuencia de Fa sería 4/3 de Do (cuarta).
Aún faltaban cuatro notas musicales. Pensaron que como Sol era la “quinta de Do”, podían seguir este procedimiento y calcular la “quinta de Sol”, multiplicando por 3/2, obteniendo así 9/4, que por exceder de 2 (= DO), la redujeron a la misma nota musical pero en la octava inferior simplemente multiplicando por 1/2 (recordemos que Do/DO = 1/2).

Así nace la nota musical  Re que sería 9/8 de Do.

Animados, calcularon la “quinta de Re”. Así que, de manera análoga, obtienen multiplicando por 3/2, la fracción 27/16 que representa a La.

Siguiendo con el cálculo de la quinta de la nota anterior, 3/2 de 27/16, obtenemos 81/32, que excede de 2, así que para reducirla a la misma nota de la octava inferior multiplicaron por 1/2, obteniendo 81/64 que representa a Mi.

Volvemos a aplicar el mismo método a Mi. Obtenemos 3/2 de 81/64 = 243/128, fracción que representa a Si.

Las ocho notas de la octava se encuentran separadas entre sí por intervalos de tono o de semitono. El valor del intervalo de tono es 9/8 = Re/Do. Sin embargo, y a pesar de su nombre, el intervalo de semitono no equivale, desde el punto de vista matemático, a la mitad de un intervalo de tono, puesto que un semitono está definido por la fracción asociada a Fa/Mi = (4/3)/(81/64) = 256/243

La  octava, por tanto, está  compuesta  por   cinco  tonos  y  dos  semitonos,  distribuidos  de  la siguiente manera:

Do-Re representa un tono y Mi-Fa representa un semitono


La distribución de tonos y semitonos es  simétrica respecto de la nota Re. Es decir que la distribución de tonos y de semitonos es similar tanto si se asciende como si se desciende en la escala musical, tomando como punto de partida a la nota Re:

Durante la Edad Media, los clérigos componían sus piezas religiosas partiendo de esta nota, Re.

Hasta aquí llegaron los pitagóricos, quienes también comprobaron que su teoría cumplía propiedades maravillosas que reafirmaron que estaban creando las notas perfectas.

Si los pitagóricos hubieran continuado calculando “quintas” habrían obtenido la escala con 12 notas musicales dentro de la “octava”.

Do# Re# Fa# Sol# La# (# Sostenido)  


Ello  significa  que  si  partimos  de una nota musical (tono),  después  de  12  quintas  tendremos  un  tono aproximadamente igual al de partida, 7 octavas más agudo. La controversia surge cuando se observa que las doce “quintas” suman un poco más que las 7 octavas. Sin  embargo,  la diferencia es suficiente como para resultar notoriamente desafinado, ya que  129,746 : 128 = 1,0136, lo que representa una diferencia de 1,36 % en la frecuencia, que será perceptible ya que está por encima del umbral de discriminación de frecuencias (0,3 %).
Hoy se denomina a esa pequeña diferencia entre ambas escalas “comma pitagórica”.

En el piano, estas doce frecuencias se corresponden con las sucesivas series de  siete teclas blancas y cinco teclas negras. 

Este  sistema,  que  tardó  mucho  tiempo  en  imponerse,  lo  consagró  en el siglo XVIII Juan Sebastián Bach (1685- 1750) en su obra  El clave bien temperado. Desde entonces la escala habitual empleada en Occidente es la escala temperada. En esta escala existen once frecuencias intermedias entre una nota y su octava superior. Las  doce frecuencias de la escala temperada se denotan: [ Do  Do#   Re  Re#   Mi  Fa   Fa#   Sol  Sol#  La  La#  Si ], donde el signo # indica una nota “sostenida”. En el piano, estas doce frecuencias se corresponden con las sucesivas series de  siete teclas blancas y cinco teclas negras. 
En la escala temperada se intercalan notas (#) entre aquellos sonidos de la octava que distan entre sí en un intervalo de un tono. Es decir que se intercalan notas entre Do  y  Re;  Re y Mi; Fa y Sol; Sol y La ; La y Si. Pero en cambio no se intercalan notas entre Si y Do, y tampoco entre Mi y Fa, ya que la distancia entre estos sonidos es de un semitono. Como resultado de estas modificaciones todos los sonidos sucesivos de la escala temperada están separados entre sí por una distancia de  un  semitono.

La nomenclatura de las notas musicales Do Re Mi Fa Sol La Si  tiene su origen en el siglo IX, aparecen en textos de Al-Mamún las notas musicales utilizando el alfabeto árabe:

En esa época el monje benedictino Pablo el Diácono compuso el himno Ut queant laxis (Himno a San Juan Bautista). En la sílaba inicial de cada verso, puso el nombre árabe de las notas, aunque utilizando como nota inicial el Do, a la que rebautizó como Ut:
Ut queant laxis
Resonáre fibris
Mira gestórum
muli tuórum
Solve pollúti
bii reátum
Sancte Ioánnes”

El monje benedictino italiano Guido de Arezzo (992-1050) es considerado el padre de la notación musical porque la desarrolló dentro de un patrón de cuatro líneas (tetragrama), popularizando los nombres de las notas utilizados en el Himno a San Juan Bautista de Pablo el Diácono.

Anteriormente era utilizado el alfabeto latino: A B C D E F G, que sigue siendo utilizado en el mundo anglosajón.

Guido de Arezzo utilizó un esquema nemotécnico especial con forma de mano, conocido como la «mano guidoniana». Este esquema tuvo bastante éxito y dio origen al tetragrama, predecesor del moderno pentagrama.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/Guidonian_hand.jpg
Manuscrito medieval, siglo XV  “mano guidoniana

Fuente información Historias de Matemáticas

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